Kuidas ülipehme keeris lahti ühendab | loodusfüüsika

Kuidas ülipehme keeris lahti ühendab | loodusfüüsika

Anonim

Õppeained

  • Bose – Einsteini kondensaadid
  • Vedeliku dünaamika
  • Füüsika

Abstraktne

Sõlmed ja sidemed esinevad sageli füüsilistes süsteemides, sealhulgas köie 1 ja DNA raputatud ahelad (viide 2), samuti vedelike 3 keeriste peenem struktuur ja plasmade 4 magnetväljad. Hajumiseta vedelike voogude teooriad ennustavad, et need sassis struktuurid püsivad 5, piirates voolu arengut sarnaselt kingapaelaga seotud sõlmega. See piirang põhjustab säilinud koguse, mida tuntakse helicity 6, 7, pakkudes nii põhjalikke teadmisi kui ka köitev võimalusi keerukate voogude juhtimiseks. Kuid isegi väikesed hajumise kogused võimaldavad sõlme lahti ühendada "lõigatud ja ühendatavate" toimingutega, mida nimetatakse uuesti ühendamiseks 3, 4, 8, 9, 10, 11 . Hoolimata nende taasühenduste potentsiaalsest põhimõttelisest rollist helicicuse mõistmisel - ja sõlmeliste väljade stabiilsusel üldiselt - on nende mõju teada ainult käputäis lihtsaid sõlmi 12 . Uurime siin 322 elementaarsõlme ja lüli arengut Grossi-Pitaevskii mudelis supervedeliku jaoks ja leiame, et need on üldiselt lahti seotud. Jälgime, et keskjoone helicity on osaliselt säilinud isegi sõlmede lahti sidumisel, mis on idealiseeritud vedelike jaoks ennustatud täiusliku helicity Conservation jäänus. Veelgi enam, leiame, et sõlmede lahtisidumise topoloogilistel radadel on lihtsad kirjeldused minimaalsete kahemõõtmeliste sõlmediagrammide osas ja nad kipuvad keskenduma olekutele, mis on keeratud ainult ühes suunas. Nendel tulemustel on otsene analoogia varasemate uuringutega, mis käsitlevad lihtsate sõlmede kasutamist mitmes süsteemis, sealhulgas DNA rekombinatsioon 2 ja klassikalised vedelikud 3, 12 . See sarnasus geomeetrilises ja topoloogilises evolutsioonis viitab sellele, et sõlmede käitumisel hajutavatel väljadel on universaalseid aspekte.

Peamine

Sõlme sidumine on juba pikka aega olnud stabiilsuse loomise metafoor ja seda ka mõjuval põhjusel: isegi tavalise sõlme nööri lahti harutamine nõuab kas käärid või keerulisi käiguseeriaid. Sellel püsimisel on olulised tagajärjed filamentaalsetele füüsilistele struktuuridele nagu DNA, mille käitumist muudavad sõlmed ja sidemed 9, 13 . Analoogset efekti võib näha füüsikalistes väljades, näiteks magnetväljades plasmates või keerises vedelikuvoolus; mõlemal juhul ei ühenda idealiseeritud mudelite sõlmed kunagi lahti, andes uued konserveeritud kogused 6, 14 . Samal ajal on arvukalt näiteid, kus reaalsete (mitteideaalsete) füüsiliste süsteemide sundimine põhjustab nende sõlmede moodustumist: keerised klassikalises või ülijugavas turbulentsis 15, 16, päikesekorona 4 magnetväljad ja kondenseerunud ainefaaside defektid 10 . See tekitab mõtte: miks ei takerdu kõik sassis veebi, nagu kõrvaklappide nöörid taskus 1 ?

Kõigis neis süsteemides võimaldavad „taasühendamise sündmused” põldudel lahti hargneda, lõigates ja liimides kokku lähedalasuvad read / ehitised (joonis 1a; viited 3, 4, 8, 9, 10, 11). Selle tulemusel sõltub sõlmede tasakaal ja selle põhiline roll füüsiliste süsteemide arengut piiravana kriitiliselt mõistmisest, kas ja kuidas need mehhanismid põhjustavad sõlmede lahti sidumist.

Image

a, keerise taasühendamise sündmuse skeem, sel juhul trefoil-sõlme (K3-1) teisendamine ühendatud rõngaste paariks (L2a1). b, „ideaalne” või minimaalse trossi pikkusega trefoil-sõlm. c, ideaalse sõlme keskjoone kasutamine tagab iga sõlme või lüli ühtlase, ühtlase geomeetria; läheduses asuvad ahelad asetsevad täpselt trossi läbimõõduga, d köis, millest saab sõlme moodustavate silmuste iseloomulik raadius r 0 . d, erineva minimaalse ristumiste arvuga topoloogiate ideaalsed konfiguratsioonid, n . Topoloogiate arv, välja arvatud peegelpildis olevad paarid, on esitatud nurksulgudes. e, 2D-viil supervedeliku järgu parameetri faasiväljast koos sõlmitud keerisejoonega (helesinine). f, näide minimaalse sõlme skeemidest; igal juhul ei saa topoloogiat kujutada lihtsama tasapinnalise diagrammiga. Iga ristumise kiraalsus on näidatud.

Täissuuruses pilt

Varasemad sõlmevälju käsitlevad uuringud on piirdunud suhteliselt lihtsate topoloogiate või idealiseeritud dünaamikaga 3, 9, 17, 18 . Siin käsitleme süstemaatilist uuringut kõigi peamiste topoloogiate käitumisest kuni üheksa ristumiseni, simuleerides eraldatud kvant-keerise sõlme Grossi-Pitaevskii võrrandis (GPE, võrrand (1)). Õhus olevate suitsurõngaste, ülivoolikute keeriste või ülijuhtide kvantkvivalendid on kvantjärjestuse parameetri joonjoonelised faasidefektid,

Image

, kus ρ ja φ on ruumiliselt varieeruv tihedus ja faas (joonis 1e). GPE on kasulik mudelsüsteem topoloogilise keerise dünaamika uurimiseks: keerise read on hõlpsasti tuvastatavad, taasühendused toimuvad ilma füüsikaliste suuruste lahknevusteta ning hiljuti näidati, et lihtsate sõlmede käitumine on võrreldav viskoosse vedelikukatsega 12 .

Mõõtmeteta kujul antakse Grossi-Pitaevskii võrrand 19 :

Image

kus nendes ühikutes arvutatakse kvantiseeritud ringlus ühe keerisjoone ümber järgmise valemi abil: Γ = ∮ d ℓ ⋅ u = 2π. GPE-l on iseloomulik pikkusskaala, mida nimetatakse paranemispikkuseks ξ , mis vastab tiheduse vähenenud piirkonna suurusele iga keerisesüdamiku ümber ( ξ = 1 meie mittemõõtmelistes ühikutes, kui fooni tihedus on ρ 0 = 1).

Sõlmitud keerise valmistamine ülikõrgvedeliku mudelis nõuab ruumi täitva keeruka funktsiooni arvutamist, mille faasiväli sisaldab sõlmitud defekti. See väljakutsuv samm on piiranud eelnevaid uuringuid ühe sõlmeperekonnaga konkreetses geomeetrias 8 . Klassikalise vedeliku keerise vooluvälja numbrilise integreerimise abil saadakse mis tahes topoloogia või geomeetria 12 (joonis 1e ja lisafilm 1) defektide (keeristega) faasiväljad, mis võimaldavad meil uurida iga põhisõlme arengut ja seost üheksa või vähem ülesõitu, n ≤ 9.

Erinevate topoloogiate jaoks algkujude konstrueerimiseks alustame iga sõlme jaoks ideaalse kujuga, mis võrdub väikseima sõlme kujuga, mis on seotud köiega paksusega r 0 (joonis 1b – d; viide 20). Need kanoonilised kujundid hõlmavad teadaolevalt sõlme tüübi peamisi aspekte ning samuti juhuslike sõlmede 21 keskmisi omadusi. Iga ideaalkuju puhul arvestame tervenemispikkuse suhtes kolme erinevat üldmõõtu: r 0 / ξ = {15, 25, 50}. Kuju sümmeetria murdmiseks ja tulemuste kindluse kontrollimiseks kaalume ka iga sõlme nelja juhuslikult moonutatud versiooni, mille n ≤ 8 on skaalal r 0 = 15 ξ (konstruktsiooni üksikasjaliku kirjelduse leiate meetoditest).

Joonis 2a ja lisafilm 2 näitavad 6 ristumissõlme K6-2 arengut selle ühendamisel. (Märgistame lingid ja sõlmed, kasutades üldist märget, järgides 'Knot Atlas', //katlas.org.) Võib näha, et sõlm deformeerub keerise taasühendamise seeria suunas, mis järk-järgult lihtsustab sõlme, kuni alles jäävad ainult märkimata rõngad (avamata sõlmed). . Seda käitumist on varem täheldatud käputäie lihtsate sõlmede ja linkide korral; siin leiame sama käitumise kõigis 1 458 simuleeritud keerisesõlmes. Lisaks märgime, et iga piisavalt keeruka sõlme arenedes tekivad lihtsate keerisesõlmede tugevalt moonutatud vormid, millel kõigil omakorda on sarnane lahtisidumise dünaamika ideaalsema kujuga kolleegidega.

Image

a, juhuslikult moonutatud 6 ristumissõlme (K6-2, r 0 = 50 ξ ) sidumine sidumata rõngaste kogumiga. Mõõdetud aeg t ′ = t × Γ / r 0 2 on näidatud iga sammu kohta. Ülemisel lõigul on kujutatud kohaliku järjestuse parameetri tiheduse iso-pinnad (punane, | ψ | 2 = 1/2) ja läbipaistvatel pindadel (teal või lilla) on konstantne faasiline iso-pind. Iga helitugevuse keskpunkt on keeris, millel vastasel juhul oleks neto vertikaalne liikumine; näidatakse ainult 48% simulatsiooni mahust. b, sidumata / lahti ühendamata simulatsioonide osa ajafunktsioonina, mis arvutatakse ideaalse sõlme 322 simulatsiooni jaoks, kui r 0 = 50 ξ . Keskmine lahtiharutamise aeg on tähistatud punasega. c - e, 2D histogrammid suhtelise pikkuse, keerise energia ja helicity aja funktsioonina kõigi peamiste topoloogiate korral, mille n ≤ 9. Katkendjooned tähistavad keskmisi väärtusi. Helikaalsuse histogramm ( e ) sisaldab ainult 269/322 topoloogiaid, mille h 0 on ≥ 1. Iga simulatsioonigrupi sarnaste histogrammide kohta vaata täiendavat joonist 2.

Täissuuruses pilt

Kvantifitseerime keerise dünaamika, arvutades ajafunktsioonina mõõtmeteta pikkuse, keerise energia ja helikuse (joonis 2c – e ja täiendav joonis 2, üksikasju vt meetoditest). Ülivedeliku faasi defekti järgi arvutatud keerise energia mõõdab keerise vooluga seotud energiat, mitte helilaineid. Kombineeritud koguenergia (pööristest ja helilainetest) säästetakse GPE-s, kui pole lisatud hajutavat terminit; me ei hõlma ühte siia.

Mitmemõõtmeline 'keskjoone helicity' h - mis mõõdab põllul kogu sidumist, sõlme ja mähist - on arvutatud väärtusega 6, 7, 12, 22 :

Image

kus Lk ij on pöördejoonte i ja j vaheline lüli number ja Wr i on sirge i 3D-joonistus, mis sisaldab nii sõlmepanust kui ka spiraalseid mähiseid. Pange tähele, et klassikalise vedeliku heliitsus hõlmab terminit, mis on võrdeline südamiku keerdumisega (vt keerdumise arutamise meetodeid ülivedelike südamike kontekstis).

Meie tulemustest võib selgelt eristada kolme üldist suundumust: hargmise ajakava määrab peamiselt sõlme üldine skaala, r 0 / ξ , kus r 0 on algse oleku loomiseks kasutatud ideaalkuju köie paksus (joonis 3). 3a – d); kopterust ei hajutata, vaid see muundatakse lüli- ja sõlmedest spiraalseteks mähisteks, efektiivsusega, mis sõltub mõõtmest (joonis 3e – h); ja keerise jooned venivad lahtiühendamisel ∼ 20%, ehkki keerise energia väheneb pisut. Märgime, et keerise energia muutub taasühenduste kaudu, kuna osa energiast muundatakse helilaineteks (kooskõlas varasemate vaatlustega põrkuvatest rõngastest 23 ). Huvitav on see, et kõik need tulemused on nähtavasti keskmiselt sõlme keerukusest sõltumatud: sama skaala korral lahustuvad lihtsad sõlmed r 0 sama kiiresti kui keerulised ja kaotavad sama heliktilise ja keerise energia suhtelise koguse (täiendav joon. 3). Lisaks märgime, et need tulemused on kooskõlas ka varasemate tulemustega sõlmedes eksperimentaalse viskoosse vedeliku korral ja Biot – Savart simulatsioonides 12, 24 .

Image

Ümberskaalatud sidumisaja ( a - d ) ja sidumata versiooni algkõrguse ( e - h ) histogrammid nelja erineva simulatsioonigrupi jaoks: a - c, e - g, kõik 322 ideaalsõlme n ≤ 9 skaalal r 0 = {15, 25, 50} ξ . d, h, neli juhuslikult moonutatud varianti iga n ≤ 8 ideaalsõlmest r 0 = 15 ξ ja σ = 0, 25 r 0 (kokku 492 simulatsiooni). a - d, sidumisaegade jaotust kirjeldab hästi log-normaaljaotus (katkendlik punane joon): P ( t ′) ∝ (1 / t ′) exp [- ((ln t ′ - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ))], kus keskmine lahtiharutamise aeg on 〈 t ′〉 exp μ = {4.0, 3.9, 3, 5, 3, 7} ja hajutus on σ = {0, 37, 0, 41, 0, 44, 0, 47} vastavalt a - d . e - h, lõplik koputus on ligikaudu proportsionaalne algse kopikata (punane joon). Kopsuse säilimise määr sõltub üldisest ulatusest, kuid sõlmede juhuslik moonutamine mõjutab seda ilmselt vaid pisut. (Seda väikest erinevust võib seletada sellega, et sõlmed on moonutusest tegelikult suuremad.)

Täissuuruses pilt

Klassikalistes vedelikes 12 on tüüpiliste sõlmede ja seotud rõngaste puhul kopikate muutumist sõlmedest ja linkidest spiraalmähisteks täheldatud varem ja seda saab seletada geomeetrilise mehhanismi abil. Pärast iga taasühendamise sündmust toodetakse taasühendatud keeriste jaoks pikkusega skaalaga helikleid. Kui eeldada täielikku antiparalleelset taasühendamist ilma igasuguse ruumilise piirita, siis eeldatakse, et see protsess säilitab täpselt heelitsuse 12, 25 . GPE-s kiirgatakse helilainetena siiski tervenemispikkuse skaala spiraalseid moonutusi (Supplementary Movie 4). Selle tulemusel täheldame keskmist helikiiruse kadu ligikaudse Δ h / h 0 ∝ ( r 0 / ξ ) −0, 5 trendiga. Tähelepanuväärselt viitavad need tulemused sellele, et kuna skaala muutub väga suureks, r 0 ≫ ξ , tuleks kopikate säilimine taastada, isegi kui sõlmed on endiselt lahti.

Kui eeldada, et kontsentreeritud pööriste jaotused alati laienevad, on tähelepanek, mille kohaselt sõlmed universaalselt lahti siduvad, intuitiivse kirjelduse. Sõlmimata keerise rõngaste kogumid võivad üksikuid keerisejooni venitamata eralduda, kuid lingitud või sõlmeline struktuur peab laienemiseks venima. Samal ajal peavad süsteemi keerdkäigud energia säästmiseks ümber sirguma, kuna need venivad: nagu lihtsate sõlmede puhul varem täheldatud, vähendab tihedalt asetsevate, paralleelsete keeriste paaride moodustumine energiat pikkuseühiku kohta 3 . Venituse jätkudes sõidetakse neid paralleelseid piirkondi üksteisele lähemale, kuni nad lõpuks uuesti ühenduvad; see protsess jätkub seni, kuni sõlmed on täielikult lahti ühendatud. Märgime, et enamikul juhtudest lõpeb venitamine järsult pärast seda, kui sõlmed on lahti sidunud (täiendav joonis 1), kooskõlas selle tõlgendusega. Huvitav on see, et selline pilt loob loomulikult ka antiparalleelse taasühendamise geomeetria, mis soodustab helicity säilitamist.

Ehkki ülaltoodud tulemused näitavad keerise sõlmede valdavat kalduvust lahti siduda, ei selgita need konkreetseid topoloogilisi radu, mis seda lahtiharutamist põhjustavad. Nende määramata järjestuste mõõtmiseks tuvastame keeriste topoloogia T i pärast iga taasühendust, arvutades nende HOMFLY-PT polünoomid 26, 27 . Ideaalsete sõlmede suure sümmeetria tõttu on taasühendused sageli ajaliselt kokkulangevad, takistades vahepealse topoloogia tuvastamist. Selle tüsistuse vältimiseks arvestame ainult juhuslikult moonutatud sõlmede lagunemisega, mis seda sümmeetriat rikuvad.

Esimene küsimus, mida uurime, on see, kas sõlm lihtsustub igal sammul. Kvantifitseerime sõlme keerukuse iga sõlme ristumiste arvu n abil minimaalses kahemõõtmelises (2D) diagrammis (joonis 1f), mis on sõlme topoloogiline invariant. Täiendav tabel 2 näitab ristumiste arvu hüppeliste hüpete statistikat kõigi taasühenduste kaudu, paljastuvad sõlmed on umbes suurusjärgus, mis tõenäolisemalt "lahti siduda" (Δ n <0) kui "retie" (Δ n > 0) iga üksiku inimese jaoks taasühendamine. Keskmiselt eemaldatakse iga taasühendusega rohkem kui üks ristumine, rõhutades tõsiasja, et keeriste füüsiline taasühendamine 3D-s ei tähenda ühe ristumise eemaldamist (või lisamist) 2D minimaalse sõlme diagrammist. Sellegipoolest näitavad minimaalsed diagrammid selget suundumust topoloogilise lihtsustamise suunas.

Kui iga taasühendamine ei vasta ühe ristamise eemaldamisele 2D-sõlme diagrammist, kas on ikkagi võimalik nende sündmuste kohta intuitiivselt kirjeldada, kasutades selliseid diagramme? Sellele küsimusele saab vastata, võttes arvesse 2D topoloogilist kirjutist w ( T i ), mis saadakse, kui liidetakse iga ristumise käelisus (± 1) minimaalse sõlme diagrammil (saadud viitest 28). Tähelepanuväärselt leiame, et valdav enamus (96, 1%) taasühendamise sündmustest lisab / eemaldab 2D diagrammidelt sama märgi ristumisi, st | Δ n | = | Δ w | (sealhulgas sündmused koos ühe ülesõidukoha eemaldamisega). Nagu on näidatud joonisel 4b, c, vastavad sellele tingimusele vastavad uuestiühendused paralleelse või antiparalleelse paari lõdvestumisega 2D-diagrammil. Minimaalsete diagrammide jaoks toimub mitmete ristumiste eemaldamine ühekordse taasühendusega antiparalleelses paaris, millele järgneb topoloogiliselt triviaalse silmuse lahti keeramine I tüüpi Reidemeetri käikudega 29, 30 (joonis 4b). Võimalikud on taasühendused, millele järgneb keerulisem lihtsustamine (näiteks II tüüpi Reidemeistri käikude kaasamine); siiski täheldatakse selliseid juhtumeid harva.

Image

a, 6-osalise sõlme puhul täheldatud lagunemisraja sõlme diagrammid; kõiki etappe saab kirjeldada kohalike lahtiühendamise sündmuste abil. Iga diagrammi jaoks on märgitud minimaalne ristumiste arv n ja topoloogiline kirjutis w . b, c, peaaegu kõiki taasühendamise sündmusi saab klassifitseerida keerdpaari lõdvestamiseks antiparallel- või paralleelses orientatsioonis; mõlemal juhul Δ n = - | Δ w |. Paralleelsete paaride taasühendamine on samaväärne ristumise eemaldamisega pluss üks või mitu I tüüpi Reidemeetri käiku.

Täissuuruses pilt

Joonis 5 ja lisafilm 5 näitavad iga sõlme topoloogilist joonist ja ristumiste arvu, mille n ≤ 8, sealhulgas mitte-peamised topoloogiad, mis on ühendatud joontega, mis näitavad vaadeldava lahtilangemise radade sagedust. (See sarnaneb diagrammidega, mis on varem loodud erinevat tüüpi 31 matemaatilise sõlme lihtsustamiseks.) Lisaks ülaltoodud tulemuste illustreerimisele näitab see diagramm ka "maksimaalselt kiraalsete" topoloogiate olulisust, mille jaoks | w | = n . Iga konkreetse sõlme või lüli topoloogiline kirjutis on piiratud ristumiste arvuga; maksimaalselt kiraalsed sõlmed ja lingid küllastavad selle köite, mis vastab igale ristumiskohale, millel on sama märk.

Image

Ruudud näitavad topoloogiate koguarvu igas punktis, sealhulgas mitte-põhisidemeid / sõlmi; Ülal on näidatud viis topoloogia näidet. Lähtepunktidena kasutatakse nelja juhuslikult moonutatud koopiat iga n = 8 peamise lüli / sõlme kohta (tähistatud valgete punktidega; arvestatud on ainult ühe kiraalse topoloogia käepärasusega). Rohelised ja sinised jooned tähistavad taasühendusi, mis vähendavad ristumiste arvu, punased jooned aga sündmusi, mis suurendavad ristumiste arvu. Kergelt varjutatud piirkond näitab maksimaalselt kiraalset topoloogiat.

Täissuuruses pilt

Vaatamata asjaolule, et ainult umbes kolmandik kõigist n ≤ 8 topoloogiast on maksimaalselt kiraalsed, lõpeb 82, 6% hüpetest sellises olekus. Selle raja domineerimisel on lihtne tõlgendus: kui eeldada, et kõik taasühendused vastavad | Δ n | ≥ | Δ w |, mis vastab | Δ n / Δ w | ≥ 1 joonisel 5, kui keerisõlm laguneb maksimaalselt kiraalseks topoloogiaks, võib selle oleku jätta ainult siis, kui suurendatakse ristumiskohta. (Ehkki tähelepanek, et | Δ n | ≥ | Δ w | tundub minimaalsete ristumisskeemide kaalumisel enesestmõistetavana, pole meil selle seose tõestusmaterjali teada. Sellegipoolest ei tähelda me kunagi seda uuesti rikkuvaid ühendusi.) Tõepoolest, tänu 'lõhe' maksimaalselt ja mittemaksimaalselt kiraalse oleku vahel, peab ristumiste arv suurenema Δ n ≥ +2 võrra, et lahkuda maksimaalselt kiraalsest harust. Isegi juhul, kui ristumiste arv selle summa võrra suureneb, jääb tähele, et see püsib tavaliselt maksimaalselt kiraalsel harul. Seega jaotatakse statistiliselt enamik sõlme sidumise ajal maksimaalselt kiraalseks rajaks, mille järel nad kõdunevad ainult seda rada pidi.

Meie tähelepanek maksimaalse kiraalse eelistatud raja kohta on DNA sõlmede kohaspetsiifilise rekombineerimise varem teadaoleva tulemuse üldistamine: suvaline p = 2 toruse sõlm / lüli (mis on kõik maksimaalselt kiraalsed) võib teisendada teiseks p = 2 toruse sõlmeks taasühendamise vahendid ainult siis, kui ristumiste arv väheneb 2 . Meie tulemused näitavad, et see toruse sõlme rada on üks näide üldisemast nähtusest. Intuitiivselt osutab see, et lahti hargnevad sõlmed kipuvad jõudma olekutesse, mis on keeratud ainult ühes kiraalses suunas.

Tervikuna leiame, et ülikõrgvedelike keerisesõlmede ja linkide topoloogilist käitumist saab mõista lihtsate põhimõtete abil. Kõik pöörise sõlmed on lahti ühendatud ja nad kipuvad seda tegema tõhusalt: vähendades monotoonselt nende ristumiste arvu, kuni need on märkimata keeriste kogum. See viitab sellele, et mittevedelike keeriste topoloogia supervedelikes - või muu sarnase topoloogilise dünaamikaga vedelik - peaks tekkima ainult välise juhtimise tagajärjel. Isegi sõidu korral näitavad vaadeldud lagunemisrajad seda, et keerised settivad tõenäoliselt maksimaalselt kiraalsesse topoloogiasse; oleks väga huvitav selliste olekute sondeerimine supervedeliku või klassikalise turbulentsi korral.

Vaatletud supervedelike sõlmede areng ja lahtisidumise dünaamika meenutab tugevalt neid, mis esinevad klassikalistes vedelikes ja DNA rekombinatsioonis 2, 3, 12 . Need sarnasused püsivad hoolimata nende süsteemide olulistest erinevustest, eriti seoses topoloogia muutusi põhjustavate taasühendamisprotsesside väikesemahuliste üksikasjadega. See viitab sellele, et need võiksid kehtida veelgi üldisemalt, moodustades universaalse mehhanismi, et mõista sõlmede arengut erinevates hajutavates füüsilistes süsteemides.

Meetodid

Simulatsiooni üksikasjad.

Ülivedeliku järjekorraparameetri ajaline areng arvutati, integreerides Grossi-Pitaevskii võrrandi numbriliselt, kasutades jagatud sammuga spektraalmeetodit, kasutades viiteid 8, 12. Keskmise raadiusega r 0 / ξ = {15, 25} tehtavate simulatsioonide jaoks kasutame ruudustiku suurust Δ x = 0, 5 ξ , simulatsiooni aja sammu Δ t = 0, 02 ja salvestame jälgitud keerise rajad intervalliga Δ T = 1. Simulatsioonide jaoks, mille väärtus on r 0 = 50 comp , arvutame jämedama simulatsiooni väärtustega Δ x = 1 ξ , Δ t = 0, 1 ja Δ T = 4. Radiaalne kaugus keeristest, kus järjekorraparameeter, | ψ |, jõuab poole oma kaugevälja väärtusest (mida sageli nimetatakse 'südamiku suuruseks'), määratakse paranemispikkuse järgi ja on ligikaudu R ∼ 2 ξ . Kinnitamaks, et jämedamad simulatsioonid ei mõjuta keerise arvutamisel arvestatavat pikkust ja heliktilist, kasutatakse väikest arvu erineva eraldusvõimega sama suurusega sõlme simulatsioone (Δ x / ξ = {0, 25, 0, 5, 1}). (müra nendes arvutatud kogustes küll suureneb, kuid me ei jälgi süstemaatilisi erinevusi). Perioodilise simulatsiooniboksi kogu suurus oli vastavalt L / ξ = {128, 192, 384}, vastavalt r 0 / ξ = {15, 25, 50}. Vahel interakteeruvad lahtiühendatavatest keeristest väljunud väikesed pöörisrõngad nende perioodiliste partneritega, ületades piiri; üldiselt juhtub see alles pärast keeriste lahti sidumist. Tagamaks, et kasti suurus ei mõjuta sõlme käitumist, oleme simuleerinud sama sõlme mitmes erineva suurusega perioodilises mahus; leiame, et sõlme käitumine on praktiliselt identne, kui see paikneb perioodilisest partnerist enam kui paar r 0 (praktikas on keerukaimate sõlmede maksimaalne ulatus vaid umbes pool simulatsiooni serva pikkusest) kast).

Märgime, et kasutame GPE versiooni ilma hajumiseta ja seega on kogu energia kokkuhoid. Numbriliselt on olemas väike kaotus (alati alla 1 % ja tavaliselt alla 0, 2 % ), mis pole meie tulemuste jaoks oluline. Kaasame GPE määratlusesse ka keemilise potentsiaali μ = −1 (mõõtmeteta ühikutes); see lisatakse faasi üldise pöörde eemaldamiseks. Selle täiendava termini eemaldamine annaks matemaatiliselt identsed tulemused, kuna üldfaas pole füüsiliselt oluline.

Algne riigi ehitus.

Algseisundite faasiväljad genereeriti Bioti – Savarti tekitatud vooluvälja u BS julma jõu integreerimisega, mis on seotud faasi gradiendiga suhte kaudu:

Image

Seda meetodit kirjeldatakse üksikasjalikumalt viites. 12. Näide algfaasi väljast on näidatud joonisel fig 1e ja lisafilmis 1.

Algtiheduse väli, ρ = | ψ | 2, arvutati ligikaudse vormi abil, mis saadi lõpmatu sirge keerise joone 32 jaoks :

Image

kus r loeti kauguseks lähima keerise jooneni.

Erinevate topoloogiate vahelise järjepidevuse tagamiseks valime iga sõlme ideaalse vormi, mis võrdub piiratud paksusega köitesse ühendatud lühima sõlme kujuga (joonis 1b – d; viide 20). Need kanoonilised kujundid hõlmavad teadaolevalt sõlme tüüpe ja ühtlustavad juhuslike sõlmede 21 keskmisi omadusi, muutes need iga topoloogia jaoks kasulikuks võrdlusgeomeetriaks. Ideaalsete sõlmede kujud erinevate topoloogiate jaoks saadi veebiallikast (//katlas.math.toronto.edu/wiki/Ideal_knots) ja loodi algselt SONO meetodi abil 20 .

Juhuslikult moonutatud sõlme loomiseks arvutame juhusliku normaaljaotusega vektori δ iga punkti jaoks kõnesoleva keerisesõlme polügoonses kujutises. Seejärel silume seda vektorit Gaussiga laiusega σ = 0, 5 r 0 (mõõdetuna algse keerise joone teekonnal), eemaldame algse sõlme teega puutuja komponendi ja nihutame ümberpaigutusvektori suurust nii, et 〈| δ | 2 〉 = (0, 25 r 0 ) 2 . See nihe lisatakse moonutatud sõlme saamiseks algsetele koordinaatidele. Juhuslikult moonutatud sõlmede näited on toodud joonisel 2a ja joonis 3d. Paberis esitatud andmete jaoks kaaluti skaalal r 0 = 15 four neli juhuslikult segatud koopiat iga n ≤ 8 sõlme / lüli kohta (4 × 123 konfiguratsioonid). Kaaluti väikest arvu juhuslikult moonutatud sõlme suuremates mõõtkavas, mis andis kvalitatiivselt sarnase efekti moonutusteta ideaalsõlmede mastaapimisel.

Keerulise käitumise kvantifitseerimine.

Iga salvestatud ajaetapi jaoks saadakse keerise kuju hulknurkne esitus, jälgides supervedeliku järjekorra parameetri faasipuudusi simulatsioonivõrgu seatud eraldusvõimega (tulemuseks on tavaliselt ≳10 3 punkti). Lisaks faas normaalne,

Image

, arvutatakse keerise iga punkti jaoks, leides keerise teega risti oleva nullfaasi suuna. Sellelt teelt arvutatakse kõik järgnevad omadused (keerise energia, pöördenurk ja pikkus).

Selleks, et teha kindlaks hetk, millal sõlme lahtisidumine lõpeb, leiame hetke, mil selle HOMFLY-PT polünoom võrdub eraldamata sõlmedega (vt allpool 'Vortex-topoloogia tuvastamine'). Eeldamata aegade histogramm, joonis 3a – d, on kooskõlas logaritmilise normaaljaotusega. Leiame, et kui aeg on sobivalt ümber arvutatud, on iga simulatsioonigrupi keskmised lahtihaaramisajad vahemikus un t unknot ≈ (3, 5 - 4, 0) r 0 2 / Γ ( r 0 on nööri läbimõõt, milles tross ideaalne sõlm on seotud).

Nagu põhitekstis öeldud, arvutame keskjoone helikiilsuse mõõtmeteta kujul:

Image

Ehkki seda saab arvutada otse hulknurksetelt radadelt, nõuab see meetod perioodiliste piiride ühendamise käsitlemiseks erilisi kaalutlusi. Teise võimalusena võime märkida, et konstantse faasi pind määratleb iga sõlme / lüli jaoks 'Seiferti kaadri', mis vastab h + ∑ i Tw φ , i = 0 (viide 22), kus Tw φ , i on faasi keerdumine pöörise raja suhtes normaalne:

Image

kus

Image

tähistab suletud keerise rada i , ∂ s on raja pikkuse tuletis ja

Image

"ühikvektor", mis asub piki võrdse faasi pinda ja on risti keerisejoone puutujavektoriga selles punktis. Kuna kogu keerdumist saab keerise teelt ja faasi normaalväärtusest hõlpsalt numbriliselt integreerida, pakub see tõhusat meetodit keskjoone helicity arvutamiseks. Oleme numbriliselt kinnitanud, et see meetod annab numbrilise täpsusega võrdsed tulemused ühendamise ja kirjutamise otsese arvutamisega.

Ülivedeliku (erinevalt helilainetest) keeristega seotud energia E v arvutatakse 'tee induktiivsusest' 3,

Image

, keerise keskjoontest:

Image

Image

kus L i on keerisesilmuse i kogupikkus.

Siin on α ≅ 1, 615 dimensioonideta parandustegur, mis on valitud GPE-s oleva keerisrõnga energia õige väärtuse saamiseks (viide 33). Simulatsioonide perioodilisuse arvessevõtmiseks on ristinduktiivsus lisatud keeriste radade 3 × 3 × 3 perioodilise massiivi korral (sh perioodiliste koopiate lisamine parandab arvutuse täpsust, kuid erinevus on tavaliselt vaid väike murdosa) protsenti). Pange tähele, et ülivedeliku koguenergia on säästlik, seega vastab keerise energia vähenemine energia suurenemisele helilainetes. On näha, et valdav enamus keeristuste energiamuutusi toimub taasühendamise ajal või kohe pärast seda; vastasel juhul on arvutatud energia peaaegu konstantne.

Keeriste topoloogia tuvastamine.

Ülivedelike keeriste topoloogia kindlakstegemiseks igal ajaetapil vähendatakse polügoonse keerise kujutamist kõigepealt minimaalse võimaliku punktide arvuni, ilma topoloogiat muutmata (ka unknots eemaldatakse selles etapis, kui neid ei keeruta mõni muu keeris) read). Kui keerised on vähendatud, projitseeritakse need suvalisesse 2D tasapinnale ja tehakse kindlaks projekteeritud ristumised ja nende käelisus; HOMFLY-PT polünoom luuakse otse sellest ristumiste loendist. Seda polünoomi võrreldakse HOMFLY-PT polünoomide sisemiselt loodud andmebaasiga kõigi topoloogiate kohta (sealhulgas kiraalsed paarid, orienteeritud lingid ja disjunktiivsed ja liitsõlmed / lingid) minimaalse ristumiste arvuga n ≤ 10. Nagu põhitekstis mainitud, märgistame topoloogiad, järgides vormingus, mida kasutab 'Knot Atlas', //katlas.org, näiteks 'stividori sõlm' on K6-1, kusjuures 'K' tähistab sõlme (versus lingi 'L '), n = 6 on minimaalne ristumiskoht (joonis 1f) ja ülejäänud tähistab suvalist järjekorda.

Peamiste topoloogiate HOMFLY-PT polünoomide andmebaas loodi alates viites saadud ristumisskeemidest. 28. Orienteeritud seoste ekvivalentsus määrati, eeldades, et identsete HOMFLY-PT polünoomidega on kõik orientatsiooni permutatsioonid topoloogiliselt samaväärsed. Disjunktiivsete ja ühendite topoloogiate HOMFLY-PT polünoom arvutati nende komponentide HOMFLY-PT polünoomide algebraliselt ja lisati loendisse. Me ei käsitle lisakinnistusteta konfiguratsioone eraldi topoloogiatena ega erista eraldatud ja liit topoloogiaid. (Märgime, et lagunemisteedes täheldatakse harva lõhenenud sõlmi ja lisaks on neid HOMFLY-PT polünoomide abil keeruline lahusõlmedest eristada, kui olemas on ka sõlmelised sõlmed.) Identsete HOMFLY-PT polünoomidega on mitu sõlme / lüli. n ≥ 9, kuid ühtegi neist ei kohta n - 8 algavate sõlmede vaadeldud radadel, mida kasutati lagunemisradade arvutamiseks.

Viited

  1. 1

    Raymer, DM & Smith, DE Ärritatud nööri spontaanne sõlmimine. Proc. Natl Acad. Sci. USA 104, 16432–16437 (2007).

      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  2. 2

    Shimokawa, K., Ishihara, K., Grainge, I., Sherratt, DJ & Vazquez, M. FtsK-sõltuv XerCD-dif rekombinatsioon vabastab replikatsioonikatentaanid sammhaaval. Proc. Natl Acad. Sci. USA 110, 20906–20911 (2013).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  3. 3

    Kleckner, D. & Irvine, WTM Sõlmitud keeriste loomine ja dünaamika. Loodusfüüs. 9, 253–258 (2013).

      • CAS
      • Artikkel
      • Google Scholar
  4. 4

    Cirtain, JW jt. Ruumiliselt eraldatud magnetilistest punutistest eraldub päikesekoronas energia. Loodus 493, 501–503 (2013).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  5. 5

    Thomson, W. Keeriste aatomitel. Philos. Mag. XXXIV, 94–105 (1867).

      • Google Scholar
  6. 6

    Moffatt, HK Pöördunud keerisejoonte sõlme sõlmelisuse aste. J. Fluid Mech. 35, 117–129 (1969).

      • Artikkel
      • Google Scholar
  7. 7

    Berger, MA Tutvustus magnetilise helikatikaga. Plasmafüüs. Kontroll. Fusion 41, B167 – B175 (1999).

      • CAS
      • Artikkel
      • Google Scholar
  8. 8

    Proment, D., Onorato, M. & Barenghi, C. Vortex sõlmed Bose – Einsteini kondensaadis. Füüs. Ilm E 85, 1–8 (2012).

      • CAS
      • Artikkel
      • Google Scholar
  9. 9

    Wasserman, SA & Cozzarelli, NR Biokeemiline topoloogia: rakendused DNA rekombinatsiooniks ja replikatsiooniks. Science 232, 951–960 (1986).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  10. 10.

    Tkalec, U. et al. Kiraalsete nemaatiliste kolloidide ümberkonfigureeritavad sõlmed ja lingid. Teadus 333, 62–65 (2011).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  11. 11

    Bewley, GP, Paoletti, MS, Sreenivasan, KR ja Lathrop, DP Ülivedeliku heeliumi taaskeerutavate keeriste iseloomustus. Proc. Natl Acad. Sci. USA 105, 13707–13710 (2008).

      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  12. 12

    Scheeler, MW, Kleckner, D., Proment, D., Kindlmann, GL ja Irvine, WTM. Helikaali säilitamine voolu skaalade kaudu keerisesidemete ja sõlmede ühendamisel. Proc. Natl Acad. Sci. USA 111, 15350–15355 (2014).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  13. 13.

    Sumners, D. Kardina tõstmine: topoloogia kasutamine ensüümide varjatud toime uurimiseks. Mitte. Olen. Matemaatika. Soc. 528–537 (1995).

      • Google Scholar
  14. 14.

    Woltjer, L. Teoreem jõuvabade magnetväljade kohta. Proc. Natl Acad. Sci. USA, 44, 489–491 (1958).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  15. 15.

    Moffatt, H. & Ricca, R. Helicity ja Calugareanu invariant. Proc. R. Soc. Lond. A 439, 411–429 (1992).

      • Artikkel
      • Google Scholar
  16. 16.

    Barenghi, CF Sõlmed ja liigendamata vedelikud turbulentsi korral. Milan J. matemaatika. 75, 177–196 (2007).

      • Artikkel
      • Google Scholar
  17. 17.

    Dennis, MR, kuningas, RP, Jack, B., O'holleran, K. & Padgett, M. Isoleeritud optilise keerise sõlmed. Loodusfüüs. 6, 118–121 (2010).

      • CAS
      • Artikkel
      • Google Scholar
  18. 18.

    Martinez, A. jt. Vastastikku sassis kolloidsed sõlmed ja nemaatilistes väljades tekitatud defektsilmused. Loodus Mater. 13, 258–263 (2014).

      • CAS
      • Artikkel
      • Google Scholar
  19. 19.

    Pitaevskii, LP & Stringari, S. Bose – Einsteini kondensatsioon (Clarendon, 2003).

      • Google Scholar
  20. 20.

    Pieranski, P. in Ideal Knots (toim Stasiak, A., Katritch, V. & Kauffman, LH) (World Scientific, 1998).

      • Google Scholar
  21. 21.

    Katritch, V. jt. Sõlmede geomeetria ja füüsika. Nature, 384, 142–145 (1996).

      • CAS
      • Artikkel
      • Google Scholar
  22. 22.

    Akhmet'ev, P. & Ruzmaikin, A. Vedelike ja plasmade dünaamika topoloogilistes aspektides, vol. 218 (toim Moffatt, HK, Zaslavsky, GM, Comte, P. & Tabor, M.) 249–264 (NATO ASI seeria, Springer, 1992).

      • Google Scholar
  23. 23.

    Leadbeater, M., Winiecki, T., Samuels, DC, Barenghi, CF & Adams, CS Heli emissioon supervedelike keeriste taasühenduste tõttu. Füüs. Lett. 86, 1410–1413 (2001).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  24. 24.

    Ricca, RL, Samuels, D. & Barenghi, C. Keermesõlmede evolutsioon. J. Fluid Mech. 391, 29–44 (1999).

      • Artikkel
      • Google Scholar
  25. 25.

    Laing, CE, Ricca, RL ja Sumners, DWL Rehealuse säilitamine paralleelse taasühenduse korral. Sci. Rep. 5, 9224 (2015).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikkel
      • Google Scholar
  26. 26.

    Freyd, P. jt. Uus sõlmede ja linkide polünoomi invariant. Härja. Olen. Matemaatika. Soc. 12, 239–246 (1985).

      • Artikkel
      • Google Scholar
  27. 27.

    Przytycki, JH & Traczyk, P. Conway algebrad ja linkide ekvivalentsus. Proc. Olen. Matemaatika. Soc. 100, 744–748 (1987).

      • Artikkel
      • Google Scholar
  28. 28.

    Cha, JC & Livingston, C. Knot Info: Knot Invariants tabelid (veebruar 2015); //www.indiana.edu/ ∼ knotinfo

      • Google Scholar
  29. 29.

    Reidemeister, K. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Vol. 5, 24–32 (Springer, 1927).

      • Google Scholar
  30. 30.

    Alexander, JW & Briggs, GB Sõlmitud kõverate tüüpidel. Ann. Matemaatika. 28, 562–586 (1926).

      • Artikkel
      • Google Scholar
  31. 31.

    Flammini, A. & Stasiak, A. Sõlmede looduslik klassifikatsioon. Proc. R. Soc. Lond. A 463, 569–582 (2007).

      • Artikkel
      • Google Scholar
  32. 32.

    Berloff, NG Padé Grossi-Pitaevskii võrrandi üksikute lainelahenduste lähendused. J. Phys. A 37, 1617-1632 (2004).

      • Artikkel
      • Google Scholar
  33. 33.

    Donnelly, RJ Vortex heliseb klassikalises ja kvant süsteemides. Vedelik Dyn. Res. 41, 051401, 1–31 (2009).

      • Google Scholar

Laadige alla viited

Tänusõnad

Autorid tunnustavad M. Scheelerit ja D. Promentit kasulike arutelude eest. Seda tööd toetas Riikliku Teadusfondi (NSF) teaduskonna varase karjääriarengu (CAREER) programm (DMR-1351506) ja see viidi osaliselt lõpule Chicago ülikooli teadusuuringute arvutikeskuse ja NVIDIA korporatsiooni ressurssidega. WTMI tunnistab lisaks AP Sloani fondi toetamist Sloani stipendiumi kaudu ja Packardi fondi toetust Packardi stipendiumi kaudu.

Täiendav teave

PDF-failid

  1. 1

    Täiendav teave

    Täiendav teave

Videod

  1. 1

    Lisafilm 1

    Täiendav film

  2. 2

    2. lisafilm

    Täiendav film

  3. 3

    3. lisafilm

    Täiendav film

  4. 4

    Lisafilm 4

    Täiendav film

  5. 5

    Lisafilm 5

    Täiendav film